[AGC002F] Leftmost Ball 题解

Description

给你 $n$ 种颜色的球，每种颜色的球有 $k$ 个，把这 $n\times k$ 个球排成一排，把每一种颜色的最左边出现的球涂成白色（初始球不包含白色），求有多少种不同的颜色序列，答案对 $10^9+7$ 取模。

$1\leq n, k\leq 2000$。

Solution

思考怎样的序列是满足条件的。

假设第 $i$ 个白球的位置为 $p_i$。

那么如果存在一个 $i$，使得 $[1,p_i-1]$ 中出现了 $\geq i$ 种彩球，那么这些球显然找不到它的最左边的白球，自然就不合法了。

否则把每种彩球第一次出现的位置排序后把白球顺次染成排序后的颜色即可还原序列。

然后就是计数了。

设 $f_{i,j}$ 表示当前放了 $i$ 个白球，$j$ 种彩球的合法方案数。

考虑每次在当前没放球的最左边的位置放球。

如果这个位置放白球，那么 $f_{i+1,j}\leftarrow f_{i,j}$。

如果这个位置放彩球，首先要选择这个位置的颜色，为 $n-j$ 种，然后在剩余 $nk-j(k-1)-1$ 个位置放剩下的 $k-2$ 种彩球，方案数就是 $(n-j)\times C_{nk-j(k-1)-1}^{k-2}$，所以 $f_{i,j+1}\leftarrow f_{i,j}\times (n-j)\times C_{nk-j(k-1)-1}^{k-2}$。

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容易发现这样转移是对的。

首先由于是按顺序放球，所以一定不会算重。然后由于每次放球时，它放的位置都是当前能放的最左边的，所以每次放白球时它左边的彩球数一定是确定的，就是当前所有的彩球数，所以只要 $j\leq i$ 就可以满足 $f_{i,j}$ 状态合法。

时间复杂度：$O(n^2+nk)$。

Code

Code

#include <bits/stdc++.h>

// #define int int64_t

const int kMaxN = 2e3 + 5, kMod = 1e9 + 7;

namespace Modular {
template<class T>
T qpow(T bs, T idx, T kMod) {
  bs %= kMod;
  int ret = 1;
  for (; idx; idx >>= 1, bs = 1ll * bs * bs % kMod)
    if (idx & 1)
      ret = 1ll * ret * bs % kMod;
  return ret;
}
int inv(int x, int kMod) {
  x %= kMod;
  if (!x) { std::cerr << "inv error\n"; return 0; }
  return qpow(x, kMod - 2, kMod);
}
template<class T, const T kMod>
T add(T x, T y) {
  if (x + y >= kMod) return x + y - kMod;
  else return x + y;
}

template<class T, const T kMod>
T sub(T x, T y) {
  if (x - y < 0) return x - y + kMod;
  else return x - y;
}

template<class T, const T kMod>
struct Mint {
  T x;

  Mint() { x = 0; }
  template<class _T> Mint(_T _x) { x = _x; }

  friend Mint operator +(Mint m1, Mint m2) { return Mint(Modular::add<T, kMod>(m1.x, m2.x)); }
  friend Mint operator -(Mint m1, Mint m2) { return Mint(Modular::sub<T, kMod>(m1.x, m2.x)); }
  friend Mint operator *(Mint m1, Mint m2) { return Mint(1ll * m1.x * m2.x % kMod); }
  friend Mint operator /(Mint m1, Mint m2) { return Mint(1ll * m1.x * inv(m2.x, kMod) % kMod); }
  Mint operator +=(Mint m2) { return x = Modular::add<T, kMod>(x, m2.x); }
  Mint operator -=(Mint m2) { return x = Modular::sub<T, kMod>(x, m2.x); }
  Mint operator *=(Mint m2) { return x = 1ll * x * m2.x % kMod; }
  Mint operator /=(Mint m2) { return x = 1ll * x * inv(m2.x, kMod) % kMod; }

  template<class _T> friend Mint operator +(Mint m1, _T m2) { return Mint(Modular::add<T, kMod>(m1.x, m2 % kMod)); }
  template<class _T> friend Mint operator -(Mint m1, _T m2) { return Mint(Modular::sub<T, kMod>(m1.x, m2 % kMod)); }
  template<class _T> friend Mint operator *(Mint m1, _T m2) { return Mint(1ll * m1.x * m2 % kMod); }
  template<class _T> friend Mint operator /(Mint m1, _T m2) { return Mint(1ll * m1.x * inv(m2, kMod) % kMod); }
  template<class _T> Mint operator +=(_T m2) { return x = Modular::add<T, kMod>(x, m2); }
  template<class _T> Mint operator -=(_T m2) { return x = Modular::sub<T, kMod>(x, m2); }
  template<class _T> Mint operator *=(_T m2) { return x = 1ll * x * m2 % kMod; }
  template<class _T> Mint operator /=(_T m2) { return x = 1ll * x * inv(m2, kMod) % kMod; }
  template<class _T> friend Mint operator +(_T m1, Mint m2) { return Mint(Modular::add<T, kMod>(m1 % kMod, m2.x)); }
  template<class _T> friend Mint operator -(_T m1, Mint m2) { return Mint(Modular::sub<T, kMod>(m1 % kMod, m2)); }
  template<class _T> friend Mint operator *(_T m1, Mint m2) { return Mint(1ll * m1 * m2.x % kMod); }
  template<class _T> friend Mint operator /(_T m1, Mint m2) { return Mint(1ll * m1 * inv(m2.x, kMod) % kMod); }
  friend Mint operator -(Mint &m1) { return Mint(m1.x == 0 ? (kMod - 1) : (m1.x - 1)); }
  friend Mint operator --(Mint &m1) { return m1 = Mint(m1.x == 0 ? (kMod - 1) : (m1.x - 1)); }
  friend Mint operator ++(Mint &m1) { return m1 = Mint(m1.x == (kMod - 1) ? 0 : (m1.x + 1)); }
  friend bool operator ==(Mint m1, Mint m2) { return m1.x == m2.x; }

  friend std::istream &operator >>(std::istream &is, Mint &m) {
    int x;
    is >> x;
    m = Mint(x);
    return is;
  }
  friend std::ostream &operator <<(std::ostream &os, Mint m) {
    os << m.x;
    return os;
  }
};
} // namespace Modular

using mint = Modular::Mint<int, kMod>;

int n, k;
mint f[kMaxN][kMaxN], fac[kMaxN * kMaxN], ifac[kMaxN * kMaxN], inv[kMaxN * kMaxN];

void prework() {
  fac[0] = ifac[0] = fac[1] = ifac[1] = inv[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n * k; ++i) {
    inv[i] = (kMod - kMod / i) * inv[kMod % i];
    fac[i] = i * fac[i - 1];
    ifac[i] = inv[i] * ifac[i - 1];
  }
}

mint C(int m, int n) {
  if (m < n || m < 0 || n < 0) return 0;
  return fac[m] * ifac[n] * ifac[m - n];
}

void dickdreamer() {
  std::cin >> n >> k;
  if (k == 1) { std::cout << "1\n"; return; }
  prework();
  f[0][0] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    for (int j = 0; j <= i; ++j) {
      f[i][j] = f[i - 1][j];
      if (j) f[i][j] += f[i][j - 1] * (n - j + 1) * C(n * k - (j - 1) * (k - 1) - i - 1, k - 2);
    }
  }
  std::cout << f[n][n] << '\n';
}

int32_t main() {
#ifdef ORZXKR
  freopen("in.txt", "r", stdin);
  freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
  std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
  int T = 1;
  // std::cin >> T;
  while (T--) dickdreamer();
  // std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";
  return 0;
}